Question

13．若函数f（x）=|x-1|+a|x²-2|+|x³-3|（x∈R）有最小值，则a的取值范围是（　　）

• A． ∅
• B． [-2，2]
• C． [2，+∞）
• D． R

Answer 1

分析 取特殊值a=0，分析函数存在最值后，可排除A，C；
取特殊值a=3，分析函数存在最值后，可排除B；

解答 解：若a=0，此时函数f（x）=|x-1|+|x³-3|=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{3}-x+4，x＜1\\-{x}^{3}+x+2，1≤x≤\root{3}{3}\\{x}^{3}+x-4，x＞\root{3}{3}\end{array}\right.$，
当x＜1时，函数f（x）为减函数，f（x）＞f（1）=2恒成立，
当1≤x≤$\root{3}{3}$时，函数f（x）为减函数，f（x）≥f（$\root{3}{3}$）=$\root{3}{3}$-1恒成立，
当x＞$\root{3}{3}$时，函数f（x）为增函数，f（x）＞f（$\root{3}{3}$）=$\root{3}{3}$-1恒成立，
此时函数f（x）存在最小值$\root{3}{3}$-1满足条件，故排除A，C；
同理可得：若a=3，此时函数f（x）=|x-1|+3x²-2|+|x³-3|也存在最小值，
故排除B．
故选：D

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，本题解答的难度过大，但因为是选择题，可采用特殊值代入法，排除错误答案．