Question

8．已知数列{a_n}是等比数列，且a₃+a₇=20，a₁•a₉=64，则a_n=${2}^{\frac{n+1}{2}}$或（-1）^n-3${2}^{\frac{n+1}{2}}$或${2}^{\frac{11-n}{2}}$或（-1）^n-3${2}^{\frac{11-n}{2}}$．

Answer 1

分析 由题意可得a₃和a₇为方程x²-20x+64=0的实根，解方程可得a₃和a₇的值，进而可得q，可得通项公式．

解答 解：由题意和等比数列的性质可得a₃a₇=a₁•a₉=64，
又a₃+a₇=20，∴a₃和a₇为方程x²-20x+64=0的实根，
解方程可得a₃=4且a₇=16，或a₃=16且a₇=4，
当a₃=4且a₇=16时，q⁴=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{3}}$=4，∴q=±$\sqrt{2}$，
∴a_n=4×（$\sqrt{2}$）^n-3=${2}^{\frac{n+1}{2}}$，或a_n=4×（-$\sqrt{2}$）^n-3=（-1）^n-3${2}^{\frac{n+1}{2}}$；
当a₃=16且a₇=4时，q⁴=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{4}$，∴q=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a_n=16×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-3=${2}^{\frac{11-n}{2}}$，或a_n=16×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-3=（-1）^n-3${2}^{\frac{11-n}{2}}$．
故答案为：${2}^{\frac{n+1}{2}}$或（-1）^n-3${2}^{\frac{n+1}{2}}$或${2}^{\frac{11-n}{2}}$或（-1）^n-3${2}^{\frac{11-n}{2}}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式，涉及韦达定理和分类讨论的思想，属中档题．