Question

17．已知△ABC中，a=1，b=c=4，求∠B和角平分线BD的长（D为AC与BD的交点）．

Answer 1

分析 如图所示，取BC的中点E，连接AE，由b=c，可得AE⊥BC，∠B=∠C．利用cosB=$\frac{BE}{AB}$即可得出．由BD是∠B的角平分线，可得$\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}$，即可解出CD，在△BCE中，由余弦定理可得：BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC，即可解出．

解答 解：如图所示，
取BC的中点E，连接AE，∵b=c，
∴AE⊥BC，∠B=∠C．
∴cosB=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{1}{2}}{4}$=$\frac{1}{8}$．
∵BD是∠B的角平分线，
则$\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}$，∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB+BC}$，
∴$\frac{CD}{4}=\frac{1}{5}$，解得CD=$\frac{4}{5}$．
在△BCE中，由余弦定理可得：BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC=$1+（\frac{4}{5}）^{2}-2×1×\frac{4}{5}×\frac{1}{8}$=$\frac{36}{25}$，
∴BD=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、直角三角形的边角关系、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．