Question

14．如图，已知点S（-2，0）和圆O：x²+y²=4，ST是圆O的直经，从左到右M和N依次是ST的四等分点，P（异于S、T）是圆O上的动点，PD⊥ST，交ST于D，$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{ED}$，直线PS与TE交于C，|CM|+|CN|为定值．
（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；
（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于Q点、与 轨迹E相交于A，B两点的直线，$|{\overrightarrow{OQ}}|=1$，是否存在上述直线l，使$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{QB}=1$成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出点的坐标，得$\frac{y^2}{{{x^2}-4}}=\frac{{\frac{y_0^2}{1+λ}}}{x_0^2-4}$，根据|CM|+|CN|为定值，建立条件关系即可求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；
（2）分类讨论，根据$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{QB}=1$，$|{\overrightarrow{OQ}}|=1$，进行转化，将y=kx+m代入椭圆方程，利用x₁x₂+y₁y₂=0，即可得出结论．

解答 解：（1）易得T（2，0），M（-1，0），N（1，0），设P（x₀，y₀），C（x，y），则$E（{x_0}，\frac{y_0}{1+λ}）$，
直线PS与TE交于C，故x≠±2，$\frac{y}{x+2}=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}$①且$\frac{y}{x-2}=\frac{{\frac{y_0}{1+λ}}}{{{x_0}-2}}$，②．  
①②相乘得$\frac{y^2}{{{x^2}-4}}=\frac{{\frac{y_0^2}{1+λ}}}{x_0^2-4}$，
又点P是圆O上的动点，故$\frac{y^2}{{{x^2}-4}}=-\frac{1}{1+λ}$即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{1+λ}}$=1，
要使|CM|+|CN|为定值，则4-$\frac{4}{1+λ}$=1，解得λ=$\frac{1}{3}$，
此时$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠±2）
即λ=$\frac{1}{3}$时，点C的轨迹曲线E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠±2）
（2）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），假设使$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{QB}=1$成立的直线l存在，
（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于Q点且|$\overrightarrow{OQ}$|=1，得$\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，即m²=k²+1，
∵$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{QB}=1$，$|{\overrightarrow{OQ}}|=1$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QA}）•（\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QB}）={\overrightarrow{OQ}^2}+\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$
即x₁x₂+y₁y₂=0，
将y=kx+m代入椭圆方程，得（3+4k²）x²+8kmx+（4m²-12）=0
由求根公式可得${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{3+4{k^2}}}$，④${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$⑤
0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=${x_1}{x_2}+{k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$
=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$
将④，⑤代入上式并化简得 （1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0⑥
将m²=1+k²代入⑥并化简得-5（k²+1）=0，矛盾，即此时直线l不存在，
（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足$|\overrightarrow{OQ}|=1$的直线l的方程为x=1或x=-1，
当x=1时，A，B，Q的坐标分别为$（1，\frac{3}{2}），（1，-\frac{3}{2}），（1，0）$，
∴$\overrightarrow{AQ}=（0，-\frac{3}{2}），\overrightarrow{QB}=（0，-\frac{3}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{QB}=\frac{9}{4}≠1$；
当x=-1时，同理可得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{QB}≠1$，矛盾，即此时直线l也不存在
综上可知，使$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{QB}=1$成立的直线l不存在．

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．