Question

19．已知函数f（x）=|mx|-|x-n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（　　）

• A． 3＜m＜6
• B． 1＜m＜3
• C． 0＜m＜1
• D． -1＜m＜0

Answer 1

分析 根据f（x）=|mx|-|x-n|＜0，及题意得m＞1，从而$-\frac{n}{m-1}＜x＜\frac{n}{1+m}$，再根据解集中的整数的个数可知2（m-1）＜n≤3（m-1），解之即可．

解答 解：∵f（x）=|mx|-|x-n|＜0，即|mx|＜|x-n|，
∴（mx）²-（x-n）²＜0，即[（m-1）x+n][（m+1）x-n]＜0，
由题意：m+1＞0，f（x）＜0的解集中的整数恰好有3个，
可知必有m-1＞0，即m＞1，（否则解集中的整数不止3个）
故不等式的解为$-\frac{n}{m-1}＜x＜\frac{n}{1+m}$，
∵0＜n＜1+m，∴$0＜\frac{n}{1+m}＜1$，
所以解集中的整数恰好有3个当且仅当$-3≤-\frac{n}{m-1}＜-2$，
即2（m-1）＜n≤3（m-1），
又n＜1+m，所以2（m-1）＜n＜1+m，即2（m-1）＜1+m，解得m＜3，
从而1＜m＜3，
故选：B．

点评 本题考查函数零点的判断，灵活对表达式进行变形、挖掘已知条件中的隐含信息是解题的关键，属于中档题．