Question

11．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD对折，使得平面BCD⊥平面ABD，点E是BD中点，点F满足：FA∥CE，且FA=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：FA⊥平面ABD；
（Ⅱ）求证：AB∥平面CDF；
（Ⅲ）求三棱锥C-BDF的体积．

Answer 1

分析 （I）通过证明CE⊥平面ABD，FA∥CE，然后证明FA⊥平面ABD．
（II）分别取AD、FD的中点是M、N，连结EM、MN、NC，证明CN∥AB，利用直线与平面平行的判定定理证明AB∥平面CDF．
（III）利用V_C-BDF=V_F-BCD，转化为V_F-BCD=V_A-BCD=V_C-ABD，求解几何体的体积．

解答 解：（I）在正方形ABCD中，CE⊥BD，
∵平面BCD⊥平面ABD，交线是BD，
∴CE⊥平面ABD，∵FA∥CE，∴FA⊥平面ABD，…（4分）
（II）分别取AD、FD的中点是M、N，连结EM、MN、NC，
则MN∥AF，$MN=\frac{1}{2}AF$，
又FA∥CE，$CE=\frac{1}{2}AF$，
∴四边形CEMN是平行四边形，
∴CN∥EM，
∵EM∥AB，∴CN∥AB，
又AB?平面CDE，∴AB∥平面CDF；…（8分）
（III）∵V_C-BDF=V_F-BCD，AF∥平面CBD，
∴${V_{F-BCD}}={V_{A-BCD}}={V_{C-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•CE=\frac{1}{3}•2•\sqrt{2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．