Question

10．已知函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称的充要条件是f（a+x）+f（a-x）=2b（或f（x）+f（2a-x）=2b）．如果函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称，则称点（a，b）为“中心点”，称函数y=f（x）为“准奇函数”．现有如下命题：
①若函数f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a））则函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．
②若定义在R上的偶函数y=f（x）的“中心点”为（1，2），则方程f（x）=2在[-10，10]上至少有10个根．
③已知函数f（x）是定义在R上的增函数，点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，若不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0对任意的m，n∈R恒成立，则当m＞3时，13＜m²+n²＜49．
其中正确的命题是①②③．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①利用定义法判断出函数的奇偶性．
②根据函数y=f（x）为R上的偶函数“中心点”为（1，2），求出方程f（x）=4的根，即可得到结论．
③已知f（x）是定义在R上的增函数，点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，则得到函数f（x）是奇函数，利用函数的奇偶性即可得到结论

解答 解：对于①，∵函数y=f（x）在R上的中心点为（a，f（a）），
∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a）
∴f（a-x）=2f（a）-f（a+x）
∴F（-x）=f（-x+a）-f（a）=2f（a）-f（a+x）-f（a）=-（f（x+a）-f（a））=-F（x）
∴F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数．
命题①正确．
②若函数y=f（x）为R上的偶函数“中心点”为（1，2），则f（x）+f（2-x）=4，
当x=1时，2f（1）=4，∴f（1）=2，
当x=-1时，f（-1）+f（3）=f（1）+f（3）=4，即f（3）=2，
当x=-3时，f（-3）+f（5）=f（3）+f（5）=4，即f（5）=2，
当x=-5时，f（-5）+f（7）=f（5）+f（7）=4，即f（7）=2，
当x=-7时，f（-7）+f（9）=f（7）+f（9）=4，即f（9）=2，
∴方程f（x）=2为[0，10]上至少有5个根，
方程f（x）=2在[-10，10]上至少有10个根．
∴②正确．
对于③，点（1，0）为函数y=f（x-1）的“中心点”，点（0，0）为函数y=f（x）的“中心点”，
即函数f（x）是奇函数，
则不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0等价为不等式f（m²-6m+21）＜-f（n²-8n）=（-n²+8n），
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴m²-6m+21＜-n²+8n，
即（m-3）²+（n-4）²＜4，表示圆心为（3，4），半径为2的圆及其内部，
当m＞3时，为右半圆，
设z=m²+n²，则z的几何意义表示为动点P到原点距离的平方，
由图象可知当P位于点A（3，6）时，z取得最大值为z=9+36=45，
当P位于点B（3，2）时，z取得最小值为z=9+4=13，
∴13＜m²+n²＜45．即13＜m²+n²＜49成立，∴③正确．
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查函数中心的定义的应用，综合性较强，运算量量较大，难度非常大．