Question

15．在正项数列{a_n}中，a₁=3，a_n²=a_n-1+2（n=2，3，…）
（1）求a₂，a₃的值，判断a_n与2的大小关系并证明；
（2）求证：|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|（n=2，3，…）；
（3）求证：|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|＜$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁=3，a_n²=a_n-1+2（n=2，3，…），可得${a}_{2}^{2}$=3+2=5，a_n＞0，${a}_{2}=\sqrt{5}$，同理可得：a₃=$\sqrt{\sqrt{5}+2}$．猜想a_n＞2．利用数学归纳法证明即可．
（2）a_n²=a_n-1+2（n=2，3，…），a_n＞2．可得$\frac{1}{4}|{a}_{n-1}-2|$=$\frac{1}{4}|{a}_{n}^{2}-4|$=|a_n-2|×$\frac{1}{4}|{a}_{n}+2|$＞$\frac{1}{4}×（2+2）×|{a}_{n}-2|$=|a_n-2|，即可证明；
（3）由（1）可得：|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|（n=2，3，…），可得$|{a}_{2}-2|＜\frac{1}{4}|{a}_{1}-2|$，$|{a}_{3}-2|＜\frac{1}{{4}^{2}}|{a}_{1}-2|$，…，即可证明．

解答 （1）解：∵a₁=3，a_n²=a_n-1+2（n=2，3，…），
∴${a}_{2}^{2}$=3+2=5，a_n＞0，
∴${a}_{2}=\sqrt{5}$，同理可得：a₃=$\sqrt{\sqrt{5}+2}$．
猜想a_n＞2．
下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a₁=3＞2成立；
②假设当n=k时，a_k＞2，则${a}_{k+1}^{2}$=a_k+2＞4，a_k+1＞0，
∴a_k+1＞2．
因此当n=k+1时，不等式成立．
由①②可得：命题对于?n∈N^*，都有a_n＞2．
（2）证明：∵a_n²=a_n-1+2（n=2，3，…），a_n＞2．
∴$\frac{1}{4}|{a}_{n-1}-2|$=$\frac{1}{4}|{a}_{n}^{2}-4|$=|a_n-2|×$\frac{1}{4}|{a}_{n}+2|$＞$\frac{1}{4}×（2+2）×|{a}_{n}-2|$=|a_n-2|，
∴|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|（n=2，3，…）；
（3）证明：由（1）可得：|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|（n=2，3，…），
∴|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|
＜|a₁-2|+$\frac{1}{4}|{a}_{1}-2|$+$\frac{1}{{4}^{2}}|{a}_{1}-2|$+…+$\frac{1}{{4}^{n-1}}$|a₁-2|=$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$＜$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了数列的递推式、不等式的性质、“放缩法”、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．