Question

18．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且f（A）=1．
（1）求∠A的大小；
（2）若a=$\sqrt{3}$，b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，利用A的取值范围与正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用余弦定理可得bc，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
由A∈（0，π），∴$（2A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$，
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a=$\sqrt{3}$，b+c=3，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
∴3=3²-2bc-2bc$cos\frac{π}{3}$，解得bc=2．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2×sin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．