Question

9．在△ABC中，BC边上的垂直平分线与BC，AC分别交于点D，M，若$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}$=6，且|$\overrightarrow{AB}$|=2．则|$\overrightarrow{AC}$|=（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 画出图形，并连接AD，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}$，再根据DM⊥BC即可得到$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$，而$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，再根据$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}=6，|\overrightarrow{AB}|=2$即可求出|$\overrightarrow{AC}$|．

解答 解：如图，DM⊥BC，∴$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{BC}=0$；
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}=（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}）•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}）$；
∵$|\overrightarrow{AB}|=2，\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BC}=6$；
∴$|\overrightarrow{AC}|=4$．
故选：C．

点评 考查向量加法、减法的几何意义，两非零向量垂直的充要条件，向量的数量积的运算．