Question

5．设复数z₁，z₂满足|z₁|=|z₁+z₂|=3，|z₁-z₂|=3$\sqrt{3}$，试求log₃|（z₁$\overline{{z}_{2}}$）²⁰⁰⁰+（$\overline{{z}_{1}}$z₂）²⁰⁰⁰|的值．

Answer 1

分析 不妨取z₁=3，由|z₁|=|z₁+z₂|=3，|z₁-z₂|=3$\sqrt{3}$，可得z₂=$3（cos\frac{2π}{3}±isin\frac{2π}{3}）$=$3（-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}i）$．当${z}_{2}=3（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$时，可得${z}_{1}•\overline{{z}_{2}}$=-9$（cos\frac{π}{3}+isin\frac{π}{3}）$，$\overline{{z}_{1}}•{z}_{2}$=9$（cos\frac{2π}{3}+isin\frac{2π}{3}）$，利用“棣模佛定理”及其对数的运算性质即可得出．当${z}_{2}=3（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$时，同理可得．

解答 解：不妨取z₁=3，∵|z₁|=|z₁+z₂|=3，|z₁-z₂|=3$\sqrt{3}$，
∴z₂=$3（cos\frac{2π}{3}±isin\frac{2π}{3}）$=$3（-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}i）$．
当${z}_{2}=3（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$时，
∴${z}_{1}•\overline{{z}_{2}}$=$9（-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）$=-9$（cos\frac{π}{3}+isin\frac{π}{3}）$，$\overline{{z}_{1}}•{z}_{2}$=$9（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$=9$（cos\frac{2π}{3}+isin\frac{2π}{3}）$，
∴$（{z}_{1}\overline{{z}_{2}}）^{2000}$+$（\overline{{z}_{1}}{z}_{2}）^{2000}$=${9}^{2000}（cos\frac{2000π}{3}+isin\frac{2000π}{3}）$+${9}^{2000}（cos\frac{4000π}{3}+isin\frac{4000π}{3}）$=9²⁰⁰⁰$[（cos\frac{2π}{3}+isin\frac{2π}{3}）$+$（cos\frac{π}{3}+isin\frac{π}{3}）]$=${9}^{2000}（\sqrt{3}i）$
∴log₃|（z₁$\overline{{z}_{2}}$）²⁰⁰⁰+（$\overline{{z}_{1}}$z₂）²⁰⁰⁰|=$lo{g}_{3}{3}^{4000}×{3}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{8001}{2}$．
当${z}_{2}=3（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$时，同理可得：log₃|（z₁$\overline{{z}_{2}}$）²⁰⁰⁰+（$\overline{{z}_{1}}$z₂）²⁰⁰⁰|=$\frac{8001}{2}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数的三角形式、“棣模佛定理”及其对数的运算性质、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．