Question

17．已知曲线f（x）=e^x-ax，其中e为自然对数的底数．
（1）若曲线f（x）=y在x=0处的切线与直线x+y-3=0平行，求函数y=f（x）的极值；
（2）若不等式f（x）≥1在区间[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a=2，再求f（x）的单调区间，进而得到极值；
（2）不等式f（x）≥1在区间[0，+∞）上恒成立，即为e^x-ax-1≥0在区间[0，+∞）上恒成立．可令g（x）
=e^x-ax-1，求出导数，对a讨论，①当a≤0时，②当a＞1时，③当0＜a≤1时，运用函数的单调性，求得最值，即可判断a的范围．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ax的导数为f′（x）=e^x-a，
曲线f（x）=y在x=0处的切线斜率为k=1-a，
由切线与直线x+y-3=0平行，
则1-a=-1，解得a=2，
即有f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2，
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）在（ln2，+∞）递增；
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，ln2）递减．
即有x=ln2处，f（x）取得极小值，且为2-2ln2，无极大值．
（2）不等式f（x）≥1在区间[0，+∞）上恒成立，即为
e^x-ax-1≥0在区间[0，+∞）上恒成立．
可令g（x）=e^x-ax-1，g′（x）=e^x-a，
①当a≤0时，由e^x＞0，g′（x）＞0，g（x）在[0，+∞）递增，
即有g（x）≥g（0）=0，成立；
②当a＞1时，当x＞lna时，g′（x）＞0，g（x）在（lna，+∞）递增，
当0＜x＜lna时，g′（x）＜0，g（x）在（0，lna）递减，
即有x=lna处g（x）取得极小值，也为最小值，且为a-alna-1≥0，
由于a-alna-1的导数为1-（1+lna）=-lna＜0，即有a-alna-1＜1-ln1-1=0，
则a-alna-1≥0无解；
③当0＜a≤1时，由于x≥0，e^x≥1，g′（x）=e^x-a＞0恒成立，
即有g（x）在[0，+∞）递增，
即有g（x）≥g（0）=0，成立．
综上可得，a的取值范围为：（-∞，1]．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．