Question

20．若对?x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，则实数a的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 当x=0时，不等式即为0≤e^y-2+e^-y-2+2，显然成立；当x＞0时，设f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，原不等式恒成立，即为不等式4ax≤f（x）恒成立．运用基本不等式和参数分离可得a≤$\frac{1+{e}^{x-2}}{2x}$在x＞0时恒成立，令g（x）=$\frac{1+{e}^{x-2}}{2x}$，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．

解答 解：当x=0时，不等式即为0≤e^y-2+e^-y-2+2，显然成立；
当x＞0时，设f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，
不等式4ax≤e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，
即为不等式4ax≤f（x）恒成立．
即有f（x）=e^x-2（e^y+e^-y）+2≥e^x-2•2$\sqrt{{e}^{y}•{e}^{-y}}$+2=2+2e^x-2（当且仅当y=0时，取等号），
由题意可得4ax≤2+2e^x-2，
即有a≤$\frac{1+{e}^{x-2}}{2x}$在x＞0时恒成立，
令g（x）=$\frac{1+{e}^{x-2}}{2x}$，g′（x）=$\frac{2x{e}^{x-2}-2（1+{e}^{x-2}）}{4{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，即有（x-1）e^x-2=1，
令h（x）=（x-1）e^x-2，h′（x）=xe^x-2，
当x＞0时h（x）递增，
由于h（2）=1，即有（x-1）e^x-2=1的根为2，
当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，
即有x=2时，g（x）取得最小值，为$\frac{1+1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
则有a≤$\frac{1}{2}$．
当x=2，y=0时，a取得最大值$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键．