Question

12．如图，垂直于x轴的直线交双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$于M，N两点，A₁，A₂为双曲线的左右顶点，求直线A₁M与A₂N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状．

Answer 1

分析 利用交轨法来求直线MA₁和NA₂的交点的轨迹方程，先根据已知条件求出A₁、A₂点的坐标，设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀），求出直线MA₁和NA₂的方程，联立方程，方程组的解为直线MA₁和NA₂交点的坐标，再把M点坐标（x₀，y₀）用x，y表示，代入双曲线方程，化简即得轨迹的方程．

解答 解：∵A₁、A₂是双曲线的左、右顶点，∴A₁（-a，0），A₂（a，0）
∵MN是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的弦，且MN与x轴垂直，∴设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀）
则直线MA₁和NA₂的方程分别为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$（x+a），y=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$（x-a）
联立两方程，解得x₀=$\frac{{a}^{2}}{x}$，y₀=$\frac{ay}{x}$，
∵M（x₀，y₀）在双曲线上，代入双曲线方程，得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$
即直线MA₁和NA₂的交点的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，轨迹为椭圆．

点评 本题主要考查了交轨法求轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力．