Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A₁，A₂，上、下顶点分别为B₂，B₁，点P（$\frac{3}{5}$a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A₂B₂，直线PO分别交A₁B₁，A₂B₂于点M，N．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若MN=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，求椭圆C的方程；
（3）在第（2）问条件下，求点 Q（$\frac{1}{3}，0$）与椭圆C上任意一点T的距离d的最小值．

Answer 1

分析 （1）将点P（$\frac{3}{5}$a，m）代入椭圆C方程，得P$（\frac{3a}{5}，\frac{4b}{5}）$，由PO⊥A₂B₂，即${k}_{{A}_{2}{B}_{2}}•{k}_{OP}$=-1，以及b²=a²-c²，可得e=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）知直线A₂B₂的方程、椭圆离心率，又点O到直线A₂B₂的距离为$\frac{1}{2}$MN，代入计算可得a²、b²的值，从而可得椭圆C的方程；
（3）设点T（x₀，y₀），根据两点间距离公式及不等式可得TQ最小值．

解答 解：（1）∵点P（$\frac{3}{5}$a，m）是椭圆C上一点，∴$\frac{（\frac{3}{5}a）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{m}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
又∵b＞0，m＞0，∴m=$\frac{4b}{5}$，即P$（\frac{3a}{5}，\frac{4b}{5}）$，
∵PO⊥A₂B₂，∴${k}_{{A}_{2}{B}_{2}}•{k}_{OP}$=-1，
又∵A₂（a，0），B₂（0，b），∴$\frac{b-0}{0-a}•\frac{\frac{4b}{5}-0}{\frac{3a}{5}-0}=-1$，化简得4b²=3a²，
又b²=a²-c²，所以a²=4c²，所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）知直线A₂B₂的方程为$\frac{y-0}{x-a}=\frac{b-0}{0-a}$，即bx+ay-ab=0，
∵MN=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，∴ON=$\frac{|0+0-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，化简得$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{12}{7}$，
又由（1）知4b²=3a²，所以a²=4，b²=3，
从而椭圆C的方程为$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{3}$=1；
（3）设椭圆C：$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{3}$=1上任意一点T（x₀，y₀），则点 Q（$\frac{1}{3}，0$）与点T之间的距离为：
$\begin{array}{l}TQ=\sqrt{{{（{x_0}-\frac{1}{3}）}^2}+{y_0}^2}=\sqrt{{{（{x_0}-\frac{1}{3}）}^2}+3（1-\frac{{{x_0}^2}}{4}）}=\sqrt{\frac{1}{4}{x_0}^2-\frac{2}{3}{x_0}+\frac{28}{9}}\\=\sqrt{\frac{1}{4}{{（{x_0}-\frac{4}{3}）}^2}+\frac{24}{9}}\end{array}$
因为x₀∈（-2，2），所以当${x_0}=\frac{4}{3}$时，TQ最小为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法．