Question

18．已知数列{a_n}的首项a₁=$\frac{1}{2}$，前n项S_n=n²a_n-n（n-1），求通项公式a_n．

Answer 1

分析 S_n=n²a_n-n（n-1），当n≥2时，S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），化为$\frac{n+1}{n}{S}_{n}-\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}=1$，利用等差数列的通项公式可得$\frac{n+1}{n}{S}_{n}$，再利用递推式即可得出a_n

解答 解：∵S_n=n²a_n-n（n-1），
∴当n≥2时，S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），
化为$\frac{n+1}{n}{S}_{n}-\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}=1$，
∴数列$\{\frac{n+1}{n}{S}_{n}\}$是等差数列，首项为1，公差为1，
∴$\frac{n+1}{n}{S}_{n}$=1+n-1=n，化为${S}_{n}=\frac{{n}^{2}}{n+1}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}}{n+1}-\frac{（n-1）^{2}}{n}$=$\frac{{n}^{2}+n-1}{{n}^{2}+n}$=1-$\frac{1}{n（n+1）}$．当n=1时也成立，
∴a_n=1-$\frac{1}{n（n+1）}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．