Question

10．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥0}\\{x-y≥0}\\{0≤x≤a}\end{array}\right.$，设b=x-2y，若b的最小值为-2，则b的最大值为10．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得a的值，再把使目标函数取得最大值的最优解的坐标代入目标函数求得b的最大值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥0}\\{x-y≥0}\\{0≤x≤a}\end{array}\right.$作出可行域如图，

由b=x-2y，得$y=\frac{x}{2}-\frac{b}{2}$，
由图可知，A（a，a），B（a，-2a），
则当直线$y=\frac{x}{2}-\frac{b}{2}$过A（a，a）时在y轴上的截距最大，b有最小值为a-2a=-a=-2，即a=2，
∴当直线$y=\frac{x}{2}-\frac{b}{2}$过B（a，-2a）时在y轴上的截距最小，b有最大值为a-2（-2a）=5a=10．
故答案为：10．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．