Question

19．设△ABC的三个内角为A、B、C，且tanA，tanB，tanC，2tanB成等差数列，则cos（B-A）=（　　）

• A． -$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• B． -$\frac{\sqrt{10}}{10}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 根据等差数列的公式将条件进行化简，求出tanA，tanB，tanC的具体值，然后求出tan（B-A），即可得到结论．

解答 解：∵tanA，tanB，tanC，2tanB成等差数列，
∴tanA+tanC=2tanB，
2tanC=tanB+2tanB=3tanB，
即tanC=$\frac{3}{2}$tanB，tanA=$\frac{1}{2}$tanB，
∵tanC=tan（π-A-B）=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{3}{2}$tanB，
即$\frac{\frac{1}{2}tanB+tanB}{1-\frac{1}{2}ta{n}^{2}B}$=-$\frac{3}{2}$tanB，
整理得tan²B=4，解得tanB=2，（tanB=-2舍，否则A，B，C都是钝角不成立），
则tanA=$\frac{1}{2}$tanB=1，
则tan（B-A）=$\frac{tanB-tanA}{1+tanAtanB}$=$\frac{2-1}{1+2}=\frac{1}{3}$，
则B-A为锐角，
则cos²（B-A）=$\frac{co{s}^{2}（B-A）}{si{n}^{2}（B-A）+co{s}^{2}（B-A）}$=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}（B-A）}$=$\frac{1}{1+（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{9}{10}$，
则cos（B-A）=$\sqrt{\frac{9}{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
故选：D

点评 本题主要考查三角函数值的化简和求解，根据等差数列关系进行求解，利用两角和差的正切公式是解决本题的关键．