Question

20．已知F是双曲线$\frac{{x_{\;}^2}}{{a_{\;}^2}}-\frac{{y_{\;}^2}}{{b_{\;}^2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，过F作倾斜角为60°的直线l，直线l与双曲线交于点A与y轴交于点B且$\overrightarrow{FA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FB}$，则该双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{5}+1$
• B． $\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\sqrt{5}+1$
• D． $\frac{\sqrt{7}+1}{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线的左焦点，设出直线l的方程为y=$\sqrt{3}$（x+c），令x=0，可得B的坐标，由向量共线的坐标表示，可得A的坐标，代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{x_{\;}^2}}{{a_{\;}^2}}-\frac{{y_{\;}^2}}{{b_{\;}^2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F为（-c，0），
直线l的方程为y=$\sqrt{3}$（x+c），
令x=0，则y=$\sqrt{3}$c，
即B（0，$\sqrt{3}$c），设A（m，n），
由$\overrightarrow{FA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FB}$，可得（m+c，n）=$\frac{1}{3}$（c，$\sqrt{3}$c），
即有m=-$\frac{2}{3}$c，n=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c．
即A（-$\frac{2}{3}$c，$\frac{\sqrt{3}}{3}$c），
代入双曲线方程，可得$\frac{4}{9}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{3}$•$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
由于e=$\frac{c}{a}$（e＞1），则4e²-3•$\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=9，
化简可得4e⁴-16e²+9=0，
解得e=$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$或$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$（舍去）．
故选D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查求曲线的离心率的问题，同时考查向量共线的坐标表示，属于中档题．