Question

12．求函数y=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}+\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最小值及相应的x值．

Answer 1

分析 将函数y变形，可知y的几何意义就是在x轴上的点P（x，0）到A（1，-1）和B（2，3）的距离之和，显然当A、P、B三点共线且P在AB之间时y有最小值，计算即可．

解答 解：∵y=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}+\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$
=$\sqrt{（x-1）^{2}+（0+1）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-3）^{2}}$，
∴y就是在x轴上的点P（x，0）到A（1，-1）和B（2，3）的距离之和，
∴当A、P、B三点共线且P在AB之间时y有最小值，
∵点A、B分别在x轴两侧，
∴只需求出直线AB和x轴的交点即可，
又直线AB方程为：$\frac{y+1}{x-1}=\frac{3+1}{2-1}$，即4x-y-5=0，
令y=0，得x=$\frac{5}{4}$，即点P（$\frac{5}{4}$，0）到A（1，-1）和B（2，3）的距离之和最小，
此距离即为AB=$\sqrt{（1-2）^{2}+（-1-3）^{2}}$=$\sqrt{17}$，
即当x=$\frac{5}{4}$时，y_min=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查函数表示的几何意义，通过变形建立函数与两点间的距离公式的联系是解题的关键，属于中档题．