Question

13．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P（m，n）（m＞p）在抛物线C上，且△FOP的外接圆圆心到准线l的距离为$\frac{3}{4}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线PF与抛物线C交于另一点A，证明：k_MP+k_MA为定值；
（3）过点P作圆（x-1）²+y²=1的两条切线，与y轴分别交于D、E两点，求△PDE面积取得最小值时对应的m值．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点和准线方程，求得外接圆圆心的横坐标，由题意可得p=1，进而得到抛物线方程；
（2）设直线PF：x=my+$\frac{1}{2}$，代入抛物线方程y²=2x，运用韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理即可得到定值0；
（3）在直角三角形BFP中，利用勾股定理表示出PB，再由切线长定理得到PB=PC，EO=EC，DO=DB，用两种方法分别表示出三角形PDE的面积，两者相等表示出DE即可，整理后利用基本不等式求出面积的最小值，以及此时n的值，即可确定出此时P的坐标．

解答 解：（1）抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），准线l：x=-$\frac{p}{2}$，
由△FOP的外接圆圆心到准线l的距离为$\frac{3}{2}$，
则圆心的横坐标为$\frac{p}{4}$，即有$\frac{p}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{4}$，
解得p=1，
则抛物线方程为y²=2x；
（2）由题意可得F（$\frac{1}{2}$，0），M（-$\frac{1}{2}$，0），
设点P（$\frac{1}{2}$n²，n），A（$\frac{1}{2}$t²，t），
设直线PF：x=my+$\frac{1}{2}$，代入抛物线方程y²=2x，
可得y²-2my-1=0，n+t=2m，nt=-1．
则k_MP+k_MA=$\frac{n}{\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}}$+$\frac{t}{\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}}$，
上式通分后得分子为$\frac{1}{2}$（n+t）+$\frac{1}{2}$nt（n+t）=m-m=0，
故k_MP+k_MA为定值．
（3）由题意得：PB=$\sqrt{P{F}^{2}-1}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}{n}^{2}-1）^{2}+{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$n²，
由切线长知识PB=PC，EO=EC，DO=DB，
∴S_△PDE=$\frac{1}{2}$DE•P_横坐标=$\frac{1}{4}$DE•n²，
又S_△PDE=$\frac{1}{2}$（PB+PC+EO）r=$\frac{1}{2}$（EC+DO+DB）r=$\frac{1}{2}$（2DE+2PB）r=DE+$\frac{1}{2}$n²，
∴$\frac{1}{4}$DE•n²=DE+$\frac{1}{2}$n²，
解得DE=$\frac{2{n}^{2}}{{n}^{2}-4}$，
S_△PDE=$\frac{1}{2}$DE•P_横坐标=$\frac{1}{2}$•$\frac{2{n}^{2}}{{n}^{2}-4}$•$\frac{1}{2}$n²=$\frac{1}{2}$•$\frac{{n}^{4}}{{n}^{2}-4}$
=$\frac{1}{2}$[（n²-4）+$\frac{16}{{n}^{2}-4}$+8]≥$\frac{1}{2}$×（8+2×4）=8，
当且仅当n²-4=4，即n=±2$\sqrt{2}$，取等号．
即△PDE面积取得最小值8时，对应的m=4．

点评 此题考查了抛物线的方程和性质，同时考查直线与圆的位置关系，三角形的面积公式，直线的一般式方程，以及点到直线的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．