Question

8．如图，已知圆上的弦AC=BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．
（Ⅰ）求证：∠ACE=∠BCD；
（Ⅱ）若BE=8，CD=2，求BC的长．

Answer 1

分析 （I）由同圆中等圆弧的性质可得∠ABC=∠BCD．由弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，即可得出证明．
（II）利用弦切角定理可得∠CDB=∠BCE，由相似三角形的判定定理可得△BEC∽△CBD，由相似三角形的性质可得$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{EB}$，即可求出BC．

解答 （Ⅰ）证明：∵弦AC=BD，∴∠ABC=∠BCD．
又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，
∴∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）解：∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，
由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．
∴△BEC∽△CBD，∴$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{EB}$，
∴BC²=CD•EB=2×8=16，解得BC=4．

点评 熟练掌握同圆中等圆弧的性质、弦切角定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．