Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦点F（-2，0）．
（Ⅰ）求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=x+m与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在曲线x²+2y=2上，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，根据椭圆的离心率和左焦点坐标，可以确定a=2$\sqrt{2}$，b=2，从而确定其椭圆的标准方程；
（Ⅱ）首先，设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），然后，联立方程组，利用韦达定理，建立等式，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=2，解得：a=2$\sqrt{2}$，b=2，
所以椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．-----------------（6分）
（Ⅱ）设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\\ y=x+m\end{array}\right.$，消去y得3x²+4mx+2m²-8=0，-----------------（8分）
由△=96-8m²＞0，解得-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$，
所以x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2m}{3}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{3}$，
因为点M（x₀，y₀）在曲线x²+2y=2上，
所以$（-\frac{2m}{3}）^{2}+2×\frac{m}{3}=2$，即$m=\frac{3}{2}或m=-3$-----------------（12分）

点评 本题重点考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．