Question

11．如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCE；
（Ⅱ）求三棱锥A-CDE的体积；
（Ⅲ）线段EF上是否存在一点M，使得BM⊥CE？若存在，确定M点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）如图所示，取AB的中点N，连接CN，可得四边形ADCN是正方形，可得NA=NB=NC，可得AC⊥CB，利用AF⊥平面ABCD，AF∥BE，可得BE⊥平面ABCD，即可证明．
（II）利用V_{三棱锥A-CDE}=V_{三棱锥E-ACD}=$\frac{1}{3}BE•{S}_{ACD}$即可得出．
（III）线段EF上存在一点M为线段EF的中点，使得BM⊥CE．连接MN，BM，EN，则四边形BEMN为正方形，可得BM⊥EN，利用线面面面垂直的判定与性质定理可得：
CN⊥平面ABEF，可得CN⊥BM，又BM⊥CE．即可证明BM⊥平面CEN．

解答 （I）证明：如图所示，取AB的中点N，连接CN，
则四边形ADCN是正方形，可得NA=NB=NC，
∴AC⊥CB，
∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥AC，
又BE∩BC=B，
∴AC⊥平面BCE．
（II）解：V_{三棱锥A-CDE}=V_{三棱锥E-ACD}=$\frac{1}{3}BE•{S}_{ACD}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×{2}^{2}$=$\frac{4}{3}$．
（III）解：线段EF上存在一点M为线段EF的中点，使得BM⊥CE．
连接MN，BM，EN，则四边形BEMN为正方形，
∴BM⊥EN，
∵CN⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴CN⊥平面ABEF，
∴CN⊥BM，
又CN∩EN=N，
∴BM⊥平面CEN，
∴BM⊥CE．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、正方形的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．