Question

2．已知递增数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{4}$a_n²+n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项b_n=$\frac{1}{n+{S}_{n}}$，其前n项和为T_n，求证：T_n$＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用递推关系式证出数列为等差数列，进一步求出数列的通项公式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）所求出的通项公式，进一步求出数列{b_n}的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，再用放缩法求出结果．

解答 解：（Ⅰ）已知递增数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{4}$a_n²+n，①
则：${S}_{n-1}=\frac{1}{4}{{a}_{n-1}}^{2}+n-1$②
所以：①-②得：${a}_{n}=\frac{1}{4}{{（a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}）+1$
整理得：${{a}_{n}}^{2}-4{a}_{n}+4={{a}_{n-1}}^{2}$，
所以：${（a}_{n}-2）^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}=0$，
（a_n-2+a_n-1）（a_n-2-a_n-1）=0，
由于当n=1时，解得：a₁=2，
所以：a_n-a_n-1=2（常数），
所以：数列{a_n}为以2为首项，2为公差的等差数列．
则：a_n=2+2（n-1）=2n，
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a_n=2n，
则：${S}_{n}=\frac{n（2+2n）}{2}=n（n+1）$，
由于：${b}_{n}=\frac{1}{n+{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
所以：T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$$＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列为等差数列，数列的通项公式的求法，裂项相消法求数列的和，放缩法的应用．