Question

10．已知函数f（x）满足f（x）=f（$\frac{1}{x}$），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[$\frac{1}{3}$，3]内，曲线g（x）=f（x）-ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{1}{2e}$）
• C． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）
• D． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{2e}$）

Answer 1

分析 作出函数的图象，结合函数的图象解答即可．

解答 解：设x∈[$\frac{1}{3}$，1]，
则$\frac{1}{x}$∈[1，3]时，
又f（x）=f（$\frac{1}{x}$）=ln（$\frac{1}{x}$）=-lnx，
∴函数f（x）的图象如图所示：
当a≤0时，显然，不合乎题意，
当a＞0时，如图示，
当x∈（$\frac{1}{3}$，1]时，存在一个零点，
当1＜x＜3时，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx-ax，（x∈（1，3]）
g′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
若g′（x）＜0，可得x＞$\frac{1}{a}$，g（x）为减函数，
若g′（x）＞0，可得x＜$\frac{1}{a}$，g（x）为增函数，
此时f（x）必须在[1，3]上有两个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{a}）＞0}\\{g（3）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$
 解得，$\frac{ln3}{3}≤a＜\frac{1}{e}$．
故选C．

点评 本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等．