Question

5．如图四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AB=1，∠PDA=30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）点E为边BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（3）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件知四棱锥P-ABCD的高为PA=1，而又能求出AD，所以可求矩形ABCD的面积，从而根据棱锥的体积公式求出该四棱锥的体积；
（2）若E为BC边的中点，便可得到EF为△PBC的中位线，从而EF∥PC，从而根据线面平行的判定定理即可得出EF∥平面PAC；
（3）先根据条件说明BC⊥AF，而根据PA=AB，F为PB中点可得到AF⊥PB，从而根据线面垂直的判定定理可得到AF⊥平面PBC，所以无论点E在边BC的何处，PE?平面PBC，所以得出PE⊥AF．

解答 解：如下图，
（1）根据已知条件，PA是四棱锥P-ABCD的高，且PA=1；
又在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠PDA=30°；
∴AD=$\sqrt{3}$，AB=1；
∴${S}_{四边形ABCD}=\sqrt{3}$；
∴${V}_{四棱锥P-ABCD}=\frac{1}{3}•\sqrt{3}•1=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）F，E分别为PB，BC边的中点；
∴EF∥PC；
PC?平面PAC，EF?平面PAC；
∴EF∥平面PAC；
即EF与平面PAC的位置关系为平行；
（3）PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD；
∴PA⊥BC；
PA=AB，F为PB边中点；
∴AF⊥PB，PB∩BC=B；
∴AF⊥PBC，PE?平面PBC；
AF⊥PE，即PE⊥AF；
∴无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

点评 考查线面垂直的性质，棱锥的体积公式，以及三角形中位线的性质，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理．