Question

8．已知f（x）是函数y=0.3^2x+3的反函数，且f（a），f（2a）都有意义．
（1）求f（x）；
（2）试比较2f（2a）与4f（a）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）化指数式为对数式，然后把x，y互换得答案；
（2）把2f（2a）与4f（a）代入函数f（x）的解析式，然后通过比较真数的大小，结合对数函数的单调性得到2f（2a）与4f（a）的大小．

解答 解：（1）由y=0.3^2x+3，得0.3^2x=y-3，
∴2x=log_0.3（y-3），则$x=\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（y-3）$，
x，y互换得：$y=\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（x-3）$．
∴f（x）=$\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（x-3）$；
（2）2f（2a）=$2×\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（2a-3）=lo{g}_{0.3}（2a-3）$，
4f（a）=$4×\frac{1}{2}lo{g}_{0.3}（a-3）=lo{g}_{0.3}（a-3）^{2}$，
由f（a），f（2a）都有意义，得a＞3．
当3＜a＜6时，（a-3）²＜2a-3，则4f（a）＞2f（2a）；
当a=6时，（a-3）²=2a-3，则4f（a）=2f（2a）；
当a＞6时，（a-3）²＞2a-3，则4f（a）＜2f（2a）．

点评 本题考查了函数的反函数的求法，训练了作差法比较两个代数式的大小，考查了对数的运算性质，是基础题．