Question

3．已知两条斜率为1的直线L₁，L₂分别过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，且L₁与双曲线交于A，B两点，L₂与双曲线交于C，D两点，若四边形ABCD满足AC⊥AB，则该双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，A，C关于原点对称，利用AC⊥AB，斜率为1，可得A（$-\frac{c}{2}，\frac{c}{2}$），代入双曲线方程，可得e的方程，即可求出e的值．

解答 解：由题意，A，C关于原点对称，
∵AC⊥AB，直线斜率为1
∴A（$-\frac{c}{2}，\frac{c}{2}$）
代入双曲线方程可得$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{b}^{2}}=1$，
化简可得e⁴-6e²+4=0，
∵e＞1，
∴e²=$\frac{（\sqrt{5}+1）^{2}}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．