Question

13．已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
（1）x₁x₂=-p²，y₁y₂=$\frac{p2}{4}$；
（2）$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$为定值；
（3）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线x²=2py（p＞0）的焦点和准线方程，设AB直线方程是y=kx+$\frac{p}{2}$，代入抛物线方程，运用韦达定理，结合抛物线方程，即可得证；
（2）运用抛物线的定义和韦达定理，计算即可得到定值；
（3）求出AB的中点坐标，以及AB的长，求得圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d=r，即可得证．

解答 证明：（1）抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，$\frac{p}{2}$），准线方程为y=-$\frac{p}{2}$，
设AB直线方程是y=kx+$\frac{p}{2}$，
则x₁，x₂是方程$\frac{1}{2p}$x²-kx-$\frac{p}{2}$的两根，
可设x₁＞0，x₂＜0，A（x₁，$\frac{1}{2p}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2p}$x₂²），
x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，
y₁y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$•$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$=$\frac{{p}^{4}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）由抛物线的定义可得|AF|=$\frac{1}{2p}$x₁²+$\frac{p}{2}$，|BF|=$\frac{1}{2p}$x₂²+$\frac{p}{2}$，
即有|AF|+|BF|=$\frac{1}{2p}$（x₁+x₂）²-$\frac{1}{p}$x₁x₂+p=2pk²+2p，
|AF|•|BF|=（$\frac{1}{2p}$）²x₁²x₂²+$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$（x₁²+x₂²）
=$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$×2p²（1+2k²）=p²（1+k²），
则有$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2p（1+{k}^{2}）}{{p}^{2}（1+{k}^{2}）}$=$\frac{2}{p}$，即为定值；
（3）由（1）可得x₁+x₂=2pk，即AB的中点的横坐标为pk，
代入直线方程是y=kx+$\frac{p}{2}$，可得中点的纵坐标为pk²+$\frac{p}{2}$，
即有AB的中点为（pk，pk²+$\frac{p}{2}$），
|AB|=|AF|+|BF|=2pk²+2p，圆的半径为r=pk²+p，
AB中点到准线的距离为pk²+$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{2}$=pk²+p=r，
则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及直线和圆相切的条件：d=r，具有一定的运算量，属于中档题．