Question

4．已知一个正四面体的展开图组成的图形的外接圆的半径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，求该正四面体的体积．

Answer 1

分析 设正四面体VABC的边长为a，可得展开图为边长为2a的正三角形，由题意和正弦定理可得a=2，进而由三角形的知识可得四面体的高和底面积，由棱锥的体积公式可得．

解答 解：设正四面体VABC的边长为a，则正四面体的展开图为边长为2a的正三角形．
由正弦定理可得$\frac{2a}{sin\frac{π}{3}}$=2r=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$（r为正三角形的外接圆的半径），解得a=2．
设底面ABC的中心为O，则高h=VO=$\sqrt{V{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
又底面三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴正四面体的体积V=$\frac{1}{3}$×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查正四面体的体积，涉及多面体的展开图，求出正四面体的棱长是解决问题的关键，属中档题．