Question

14．已知函数k（x）=alnx，h（x）=2a²lnx+x²，（a≠0），设f（x）=k（x）+h′（x）-x．
（1）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线2x+y-10=0平行，求a的值；
（2）当a∈（-∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a）．求证：g（a）≤$\frac{{e}^{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得k=-2，解方程即可得到a的值；
（2）求出导数，求得单调区间和极小值，也为最小值g（a），再令h（x）=xln（-2x）-3x，（x＜0），求出导数求得单调区间，可得极大值，也为最大值，即可得证．

解答 （1）解：f（x）=k（x）+h′（x）-x=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$+x，
f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2{a}^{2}}{{x}^{2}}$+1，
即有函数y=f（x）的图象在x=1处的切线斜率为k=a-2a²+1，
由切线与直线2x+y-10=0平行，即有a-2a²+1=-2，
解得a=-1或$\frac{3}{2}$；
（2）证明：当a∈（-∞，0）时，f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2{a}^{2}}{{x}^{2}}$+1=$\frac{（x-a）（x+2a）}{{x}^{2}}$，
由x＞0，a＜0，则x-a＞0，当x＞-2a时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当0＜x＜-2a时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=-2a处f（x）取得极小值，也为最小值，且为g（a）=aln（-2a）-3a，
令h（x）=xln（-2x）-3x，（x＜0），
h′（x）=ln（-2x）-2，
当x＜-$\frac{1}{2}$e²时，h′（x）＞0，h（x）递增；当-$\frac{1}{2}$e²＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x=-$\frac{1}{2}$e²处h（x）取得极大值，也为最大值，且为-e²+$\frac{3}{2}$e²=$\frac{1}{2}$e²．
综上可得，g（a）≤$\frac{{e}^{2}}{2}$成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，同时考查两直线平行的条件和构造函数的能力，属于中档题．