Question

6．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n为偶数}\\{{a}_{n}+1，n为奇数}\end{array}\right.$，a₁=1，若b_n=a_2n-1+2（b_n≠0）
（1）求a₄，并证明数列{b_n}是等比数列；
（2）令c_n=n•a_2n-1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n为偶数}\\{{a}_{n}+1，n为奇数}\end{array}\right.$，a₁=1，分别令n=1，2，3，即可得出a₄．由b_n=a_2n-1+2（b_n≠0），可得b_n+1=a_2n+1+2，化为b_n+1=2b_n，即可证明．
（2）由（1）知：b_n=3•2^n-1，可得a_2n-1=3•2^n-1-2，且c_n=n•a_2n-1=3n•2^n-1-2n，利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n为偶数}\\{{a}_{n}+1，n为奇数}\end{array}\right.$，a₁=1，∴a₂=a₁+1=2，a₃=2a₂=4，a₄=a₃+1=5．
∵b_n=a_2n-1+2（b_n≠0），
∴b_n+1=a_2n+1+2=2a_2n+2=2（a_2n-1+1）+2=2（b_n-2+1）+2，化为b_n+1=2b_n，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为b₁=a₁+2=3，公比为2；
（2）由（1）知：b_n=3•2^n-1，∴a_2n-1=3•2^n-1-2
且c_n=n•a_2n-1=3n•2^n-1-2n，
令S_n=1+2•2¹+…+n•2^n-1，①
2S_n=2+2•2²+…+n•2ⁿ，②
①-②得：-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．
故T_n=3S_n-$2×\frac{n（n+1）}{2}$=3（n-1）×2ⁿ-n²-n．

点评 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．