Question

15．已知斜率为1的直线与双曲线2x²-y²=1相交于A，B两点，又AB中点的横坐标为1．
（1）求直线的方程；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）设出直线方程，代双曲线方程，利用韦达定理及AB中点的横坐标为1，求出m，即可求直线的方程；
（2）利用弦长公式，即可求得线段AB的长．

解答 解：（1）设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入2x²-y²=1，消去y可得x²-2mx-（m²+1）=0
∴△=8m²+4＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2m，x₁x₂=-（m²+1）
∵AB中点的横坐标为1，
∴x₁+x₂=2m=2，
∴m=1，
∴直线的方程为y=x+1；
（2）x₁+x₂=2，x₁x₂=-2
|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{4-4×（-2）}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．