Question

10．当且仅当x∈（a，b）∪（c，+∞）（其中b≤c）时，函数f（x）=2|x+1|的图象在g（x）=|2x-t|+x图象的下方，则c+b-a的取值范围为（1，+∞）．

Answer 1

分析 化简函数的解析式，再画出f（x）、g（x）的图象，结合题意可得$\frac{t}{2}$＞-1，求出a、b、c的值，再根据b＞-1，进一步确定t的范围，可得c+b-a的范围．

解答 解：由于函数f（x）=2|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x+2，x≥-1}\\{-2x-2，x＜-1}\end{array}\right.$，
g（x）=|2x-t|+x=$\left\{\begin{array}{l}{3x-t，x≥\frac{t}{2}}\\{-x+t，x＜\frac{t}{2}}\end{array}\right.$，
如图所示：由题意可得，$\frac{t}{2}$＞-1，t＞-2．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=3x-t}\end{array}\right.$ 求得c=t+2；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=t-x}\end{array}\right.$ 求得b=$\frac{t-2}{3}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=t-x}\end{array}\right.$求得a=-2-t．
由于b＞-1，即$\frac{t-2}{3}$＞-1，求得t＞-1，
∴c+b-a=$\frac{7t}{3}$+$\frac{10}{3}$＞$\frac{7}{3}$×（-1）+$\frac{10}{3}$=1，
即c+b-a的范围是（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．