Question

5．求证：$\frac{2}{{3}^{n}-1}$＜$\frac{1}{2（n-1）n}$（n＞2）．

Answer 1

分析 原不等式即为3ⁿ-1＞4（n-1）n，即3ⁿ＞（2n-1）²．运用数学归纳法证明．先验证n=3成立，再假设n=k成立，运用不等式的性质证得n=k+1也成立．

解答 证明：原不等式即为3ⁿ-1＞4（n-1）n，
即3ⁿ＞（2n-1）²．
运用数学归纳法证明．
当n=3时，左边为3³=27，右边=（2×3-1）²=25，
左边＞右边，成立．
假设n=k（k＞2），不等式即3^k＞（2k-1）²．
当n=k+1时，左边=3^k+1＞3（2k-1）²．
而3（2k-1）²-（2k+1）²=8k（k-2）+4＞0，
即有n=k+1时，3^k+1＞（2（k+1）-1）²．
综上可得，当n＞2时，都有3ⁿ＞（2n-1）²．
即有$\frac{2}{{3}^{n}-1}$＜$\frac{1}{2（n-1）n}$（n＞2）成立．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查运用数学归纳法证明，注意解题步骤的完整性，属于中档题．