Question

13．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，AA₁=AB=AC=1，E，F分别是CC₁、BC 的中点，AE⊥
A₁B₁，D为棱A₁B₁上的点．
（1）证明：DF⊥AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证明AB⊥AC，然后以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则能写出各点坐标，由$\overrightarrow{{A}_{1}D}$与$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$共线可得D（λ，0，1），所以$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{AE}$=0，即DF⊥AE；   
（2）通过计算，面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}$可写成$\overrightarrow{n}$=（3，1+2λ，2（1-λ）），又面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），令|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，解出λ的值即可．

解答 （1）证明：∵AE⊥A₁B₁，A₁B₁∥AB，∴AE⊥AB，
又∵AA₁⊥AB，AA₁⊥∩AE=A，∴AB⊥面A₁ACC₁，
又∵AC?面A₁ACC₁，∴AB⊥AC，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则有A（0，0，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），F（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），
设D（x，y，z），$\overrightarrow{{A}_{1}D}=λ\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$ 且λ∈[0，1]，即（x，y，z-1）=λ（1，0，0），
则  D（λ，0，1），所以$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}-λ$，$\frac{1}{2}$，-1），
∵$\overrightarrow{AE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），∴$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$=0，所以DF⊥AE；   
（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$．
理由如下：
设面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{FE}$=（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}-λ$$\frac{1}{2}$，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{（\frac{1}{2}-λ）x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2（1-λ）}z}\\{y=\frac{1+2λ}{2（1-λ）}z}\end{array}\right.$，
令z=2（1-λ），则$\overrightarrow{n}$=（3，1+2λ，2（1-λ））．
由题可知面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，即$\frac{|2（1-λ）|}{\sqrt{9+（1+2λ）^{2}+4（1-λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$或$λ=\frac{7}{4}$（舍），所以当D为A₁B₁中点时满足要求．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．