练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    3．已知抛物线y2=4x，过点M（0，2）的直线与抛物线交于A，B两点，且直线与x轴交于点C
    （1）求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
    （2）设$\overrightarrow{MA}$=α•$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}$=β•$\overrightarrow{BC}$，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

    分析 （1）设出直线方程，联立抛物线方程，消去y，运用韦达定理，结合等比数列的中项性质，即可得证；
    （2）运用向量共线的坐标表示，结合韦达定理，计算即可得到定值-1．

    解答 （1）证明：设直线的方程为：y=kx+2（k≠0），
    联立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得k2x2+（4k-4）x+4=0①
    设A（x1，y1），B（x2，y2），C（-$\frac{2}{k}$，0），
    则x1+x2=$\frac{4-4k}{{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4}{{k}^{2}}$②
    |MA|•|MB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-0|•$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x2-0|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$，
    而|MC|2=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|-$\frac{2}{k}$-0|2=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$，
    ∴|MC|2=|MA|•|MB|≠0，
    即有|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
    （2）解：由$\overrightarrow{MA}$=α•$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}$=β•$\overrightarrow{BC}$，得
    （x1，y1-2）=α（-x1-$\frac{2}{k}$，-y1），（x2，y2-2）=β（-x2-$\frac{2}{k}$，-y2），
    即得：α=$\frac{-k{x}_{1}}{k{x}_{1}+2}$，β=$\frac{-k{x}_{2}}{k{x}_{2}+2}$，
    则α+β=$\frac{-2{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-2k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+2k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$
    由（1）中②代入得α+β=-1，
    故α+β为定值且定值为-1．

    点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查等比数列的性质和向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    2．若x2+y2≤1，求证|x2+2xy-y2|≤$\sqrt{2}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    3．由0，1，2，3，4，5，这6个数字可以组成多少个没有重复数字的奇数？

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$（x2+a）的图象在点Pn（n，f（n））（n∈N*）处的切线ln的斜率为kn，直线ln交x轴，y轴分别于点An（xn，0），Bn（0，yn），且y1=-1．给出以下结论：
    ①a=-1；
    ②记函数g（n）=xn（n∈N*），则函数g（n）的单调性是先减后增，且最小值为1；
    ③当n∈N*时，yn+kn+$\frac{1}{2}$＜ln（1+kn）；
    ④当n∈N*时，记数列{$\frac{1}{\sqrt{|{y}_{n}|}•{k}_{n}}$}的前n项和为Sn，则Sn＜$\frac{\sqrt{2}（2n-1）}{n}$．
    其中，正确的结论有①③④（写出所有正确结论的序号）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    18．过点M（2，4）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线共有（　　）
    A．1B．2C．3D．4

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    8．已知点A（1，1），B，C是抛物线y2=x上三点，若∠ABC=90°，则AC的最小值为2．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    15．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，抛物线C上的点M（2，m）到焦点F的距离为3．
    （1）求抛物线C的方程：
    （2）过点（2，0）的直线l，斜率为1，与抛物线C交于A、B两点，求|AB|长．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    12．求证：cos（360°-α）=cosα．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    13．直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥
    A1B1，D为棱A1B1上的点．
    （1）证明：DF⊥AE；
    （2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{14}$？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案