Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$（x²+a）的图象在点P_n（n，f（n））（n∈N^*）处的切线l_n的斜率为k_n，直线l_n交x轴，y轴分别于点A_n（x_n，0），B_n（0，y_n），且y₁=-1．给出以下结论：
①a=-1；
②记函数g（n）=x_n（n∈N^*），则函数g（n）的单调性是先减后增，且最小值为1；
③当n∈N^*时，y_n+k_n+$\frac{1}{2}$＜ln（1+k_n）；
④当n∈N^*时，记数列{$\frac{1}{\sqrt{|{y}_{n}|}•{k}_{n}}$}的前n项和为S_n，则S_n＜$\frac{\sqrt{2}（2n-1）}{n}$．
其中，正确的结论有①③④（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 首先利用函数的导数求出在某点处的斜率，进一步利用直线与x轴和y轴的交点求出y_n，x_n，关于n的函数关系式，由y₁=-1求得a值判断①；
利用导数求出函数x_n的单调性并求其最小值判断②；求出y_n+k_n+$\frac{1}{2}$关于n的函数式，分n=1和n≥2利用函数值的符号比较y_n+k_n+$\frac{1}{2}$与ln（1+k_n）的大小判断③；
求出数列{$\frac{1}{\sqrt{|{y}_{n}|}•{k}_{n}}$}的通项，放缩后利用裂项相消法求和证明S_n＜$\frac{\sqrt{2}（2n-1）}{n}$．

解答 解：①由f（x）=$\frac{1}{2}$（x²+a），得f′（x）=x，则f′（n）=n，
即k_n=n，
∴曲线在点P_n（n，f（n））处的切线l_n的切线方程为：ln：y-$\frac{1}{2}$（n2+a）=n（x-n），
直线l_n与y轴交于点B_n（0，y_n），
则：${y}_{n}=\frac{1}{2}（{n}^{2}+a）-{n}^{2}$且y₁=-1．
解得：a=-1，故①正确；
②直线l_n与x轴交于A_n（x_n，0），
∴$0-\frac{1}{2}（{n}^{2}+a）=n（{x}_{n}-n）$
整理得：g（n）=${x}_{n}=\frac{n}{2}+\frac{1}{2n}$，
则：${x}_{n}′=\frac{1}{2}-\frac{1}{2{n}^{2}}$
令${x}_{n}′=\frac{1}{2}-\frac{1}{2{n}^{2}}=0$
解得：n=1（负值舍去），
当n＞1时，x_n′＞0
∴函数g（n）为增函数，
当n=1时，函数取最小值，且最小值为1．
∴函数g（n）的单调性是增函数，且最小值为1，故②不正确；
③在l_n中，令x=0，得y_n=-n²+$\frac{1}{2}$（n²-1）=-$\frac{1}{2}$（n²+1），
∴y_n+k_n+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$n²+n，
当n=1时，y₁+k₁+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$=ln$\sqrt{e}$＜ln2=ln（1+1）=ln（1+k₁），
当n≥2时，y_n+k_n+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$n²+n≤0，而ln（1+k_n）=ln（1+n）＞ln1=0，故③正确；
④∵$\frac{1}{\sqrt{|{y}_{n}|}•{k}_{n}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{n}^{2}+1}•n}＜\frac{\sqrt{2}}{{n}^{2}}$，
∴S_n＜$\sqrt{2}（\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$．
当n＞1时，$\frac{1}{{n}^{2}}＜\frac{1}{n（n-1）}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴S_n＜$\sqrt{2}[1+（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$\sqrt{2}（2-\frac{1}{n}）=\frac{\sqrt{2}（2n-1）}{n}$，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题的真假判断与运用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了放缩法和裂项相消法证明数列不等式，是压轴题．