Question

6．已知函数f（x）=（x-a）²e^x在x=2时取得极小值．
（1）求实数a的值；
（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e⁴m，e⁴n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由f′（2）=0求得a=2或a=4，然后把a=2，a=4分别代入原函数加以验证得答案；
（2）由题意知f（x）≥0，得到m≥0，当m=0，可得n≥2，要使f（x）在区间[m，n]上的值域为[e⁴m，e⁴n]，可得（n-2）²eⁿ=e⁴n．
构造函数$g（x）=\frac{（x-2）^{2}}{x}{e}^{x}（x≥2）$，由导数判断g（x）在[2，+∞）上为增函数，结合g（4）=e⁴，可得方程（n-2）²eⁿ=e⁴n有唯一解n=4．当m＞0时，则2∉[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2，然后分两类情况说明满足f（x）在区间[m，n]上的值域为[e⁴m，e⁴n]的m，n的值不存在．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x-a）（x-a+2），
由题意知，f′（2）=0，解得：a=2或a=4．
当a=2时，f′（x）=e^xx（x-2），
可知f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，符合题意；
当a=4时，f′（x）=e^x（x-2）（x-4），
可知f（x）在（0，2）上为增函数，在（4，+∞）上为减函数，不符合题意．
∴满足条件的a值为2；
（2）∵f（x）≥0，∴m≥0，
①若m=0，则n≥2，
∵f（0）=4＜e⁴n，∴（n-2）²eⁿ=e⁴n．
设$g（x）=\frac{（x-2）^{2}}{x}{e}^{x}（x≥2）$，则${g}^{′}（x）=[\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}+\frac{（x-2）^{2}}{x}]{e}^{x}≥0$．
∴g（x）在[2，+∞）上为增函数．
由于g（4）=e⁴，即方程（n-2）²eⁿ=e⁴n有唯一解n=4．
②若m＞0，则2∉[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2，
当n＞m＞2时，$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=（m-2）^{2}{e}^{m}={e}^{4}m}\\{f（n）=（n-2）^{2}{e}^{n}={e}^{4}n}\end{array}\right.$，
由①可知不存在满足条件的m，n．
当0＜m＜n＜2时，$\left\{\begin{array}{l}{（m-2）^{2}{e}^{m}={e}^{4}n}\\{（n-2）^{2}{e}^{n}={e}^{4}m}\end{array}\right.$，
设h（x）=x（x-2）²e^x（0＜x＜2），
则h′（x）=（x³-x²-4x+4）e^x=（x+2）（x-1）（x-2）e^x，
h（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，
由h（m）=h（n），得0＜m＜1，1＜n＜2，
此时（m-2）²e^m＜4e＜e⁴n，矛盾．
综上所述，满足条件的m，n只有一组，即m=0，n=4．

点评 本题考查了利用导数求函数的极值，考查了函数值域的求法，整体体现了分类讨论的数学思想方法，正确构造函数是解决该题的关键，属难题．