Question

16．设抛物线y²=2x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则|AF|+4|BF|的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=$k（x-\frac{1}{2}）$，（k≠0）．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用|AF|+4|BF|=${x}_{1}+\frac{1}{2}+4（{x}_{2}+\frac{1}{2}）$及其基本不等式的性质即可得出，当直线AB的斜率不存在时，直接求出即可．

解答 解：F$（\frac{1}{2}，0）$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=$k（x-\frac{1}{2}）$，（k≠0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，化为${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）x+\frac{1}{4}{k}^{2}$，
x₁x₂=$\frac{1}{4}$．
∴|AF|+4|BF|=${x}_{1}+\frac{1}{2}+4（{x}_{2}+\frac{1}{2}）$=x₁+4x₂+$\frac{5}{2}$$≥2\sqrt{4{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$，当且仅当x₁=4x₂=1时取等号．
当直线AB的斜率不存在时，|AF|+4|BF|=5p=5．
综上可得：|AF|+4|BF|的最小值为$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦长公式、基本不等式的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．