Question

8．已知点A（1，1），B，C是抛物线y²=x上三点，若∠ABC=90°，则AC的最小值为2．

Answer 1

分析 设出B，C的坐标，求出AB，BC的斜率，由斜率乘积等于-1求得B，C两点纵坐标间的关系，由两点间的距离公式得到|AC|，转化为B的纵坐标的函数，借助于基本不等式求最值．

解答 解：设B（${{y}_{1}}^{2}，{y}_{1}$），C（${{y}_{2}}^{2}，{y}_{2}$），
则${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-1}{{{y}_{1}}^{2}-1}=\frac{1}{{y}_{1}+1}$，${k}_{BC}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}=\frac{1}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，
由∠ABC=90°，得k_AB•k_BC=-1，
即（y₁+1）（y₂+y₁）=-1，
∴${y}_{2}+{y}_{1}=-\frac{1}{{y}_{1}+1}$，${y}_{2}=-\frac{1}{{y}_{1}+1}-{y}_{1}=\frac{-1-{{y}_{1}}^{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}+1}$，
${y}_{2}-1=\frac{-1-{{y}_{1}}^{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}+1}-1$=$\frac{-{{y}_{1}}^{2}-2{y}_{1}-2}{{y}_{1}+1}$，
${y}_{2}+1=\frac{-1-{{y}_{1}}^{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}+1}+1=\frac{-{{y}_{1}}^{2}}{{y}_{1}+1}$，
∴|AC|=$\sqrt{（{{y}_{2}}^{2}-1）^{2}+（{y}_{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{（{y}_{2}-1）^{2}[（{y}_{2}+1）^{2}+1]}$
=$\sqrt{（\frac{-{{y}_{1}}^{2}-2{y}_{1}-2}{{y}_{1}+1}）^{2}[（-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{y}_{1}+1}）^{2}+1]}$=$\sqrt{[（{y}_{1}+1）+\frac{1}{{y}_{1}+1}]•[\frac{{{y}_{1}}^{4}}{（{y}_{1}+1）^{2}}+1]}$
不妨设y₁+1＞0，
∵$（{y}_{1}+1）+\frac{1}{{y}_{1}+1}≥2\sqrt{（{y}_{1}+1）•\frac{1}{{y}_{1}+1}}=2$，
当且仅当${y}_{1}+1=\frac{1}{{y}_{1}+1}$，即y₁=0时上式等号成立，
此时$\frac{{{y}_{1}}^{4}}{（{y}_{1}+1）^{2}}+1$取最小值1，
∴AC的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线垂直的条件，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题．