Question

7．求函数f（x）=$\frac{sinx}{2}$+$\frac{2}{sinx}$（0＜x＜π）的最小值．

Answer 1

分析 设t=sinx，则0＜t≤1，利用函数y=$\frac{t}{2}+\frac{2}{t}$的单调性进行求解．

解答 解：设t=sinx，则0＜t≤1，
则函数等价为g（t）=$\frac{t}{2}+\frac{2}{t}$，0＜t≤1，
则函数的导数g′（t）=$\frac{1}{2}$$-\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-4}{2{t}^{2}}$，
则当0＜t≤1时，g′（t）＜0，即函数g（t）为减函数，
则函数的最小值为g（1）=$\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$，
即函数f（x）的最小值为$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查函数最值的求解，利用换元法，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．