Question

12．已知抛物线y²=4x与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，O是坐标原点，点A、B是两曲线的交点，若（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{AF}$=0，则双曲线的实轴长为2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点（1，0），即有双曲线的两个焦点，设A（m，n），B（m，-n）（m＞0，n＞0），运用向量的数量积的定义可得m=1，n=2，再由双曲线的定义可得结论．

解答 解：由抛物线y²=4x的焦点F（1，0），可得双曲线的焦点为F（1，0）和F′（-1，0），
设A（m，n），B（m，-n）（m＞0，n＞0），
则$\overrightarrow{AF}$=（1-m，-n），
由（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{AF}$=0，
即为2m（1-m）+0=0，
解得m=1或m=0（舍去），
即有A（1，2），
由双曲线的定义可得|AF′|-|AF|=2a，
即为2$\sqrt{2}$-2=2a，
即双曲线的实轴长为2$\sqrt{2}$-2．
故答案为：2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查双曲线的定义和离心率的求法，同时考查向量的数量积的坐标表示，属于中档题．