Question

2．已知f（x）=（x²+x+1）ⁿ（n∈N^*），g（x）是关于x的2n次多项式；
（1）若f（x²）g（x）=g（x³）恒成立，求g（1）和g（-1）的值；并写出一个满足条件的g（x）的表达式，无需证明．
（2）求证：对于任意给定的正整数n，都存在与x无关的常数a₀，a₁，a₂，…，a_n，使得f（x）=a₀（1+x²ⁿ）+a₁（x+x^2n-1）+a₂（x²+x^2n-2）+…+a_n-1（x^n-1+xⁿ⁺¹）+a_nxⁿ．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，求g（1）和g（-1）的值；并写出一个满足条件的g（x）的表达式；
（2）利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）令x=1，则f（1）g（1）=g（1），即g（1）•[f（1）-1]=0，
因为f（1）-1=3ⁿ-1≠0，所以g（1）=0．
令x=-1，则f[（-1）²]g（-1）=g[（-1）³]，即f（1）g（-1）=g（-1），
因为g（-1）•[f（1）-1]=0，因为f（1）-1=3ⁿ-1≠0，所以g（-1）=0，
例如g（x）=（$\sqrt{{x}^{2}-1}$）²ⁿ（n∈N^*）．     
（2）当n=1时，f（x）=x²+x+1=（x²+1）+x，故存在常数a₀=1，a₁=1，使得f（x）=a₀（1+x²）+a₁x．
假设当n=k（k∈N^*）时，都存在与x无关的常数a₀，a₁，a₂，…，a_k，
使得f（x）=a₀（1+x^2k）+a₁（x+x^2k-1）+a₂（x²+x^2k-2）+…+a_k-1（x^k-1+x^k+1）+a_kx^k，
即（x²+x+1）^k=a₀（1+x^2k）+a₁（x+x^2k-1）+a₂（x²+x^2k-2）+…+a_k-1（x^k-1+x^k+1）+a_kx^k．
则当n=k+1时，f（x）=（x²+x+1）^k+1=（x²+x+1）•（x²+x+1）^k=（x²+x+1）•[a₀（1+x^2k）+a₁（x+x^2k-1）+…+a_k-1（x^k-1+x^k+1）+a_kx^k]
=（a₀+a₁x+…+a_k-1x^k-1+a_kx^k+a_k-1x^k+1+…+a₁x^2k-1+a₀x^2k）+（a₀x+a₁x²+…+a_k-1x^k+a_kx^k+1+a_k-1x^k+2+…+a₁x^2k+a₀x^2k+1）
+（a₀x²+a₁x³+…+a_k-1x^k+1+a_kx^k+2+a_k-1x^k+3+…+a₁x^2k+1+a₀x^2k+2）
=a₀+（a₁+a₀）x+（a₂+a₁+a₀）x²+（a₃+a₂+a₁）x³+…+（a_k-1+a_k-2+a_k-3）x^k-1++（a_k+a_k-1+a_k-2）x^k+（2a_k-1+a_k）x^k+1
+（a_k+a_k-1+a_k-2）x^k+2+…++（a₃+a₂+a₁）x^2k-1+（a₂+a₁+a₀）x^2k+（a₁+a₀）x^2k+1+a₀x^2k+2
=a₀（x+x^2k+2）+（a₁+a₀）（x+x^2k+1）+（a₂+a₁+a₀）（x²+x^2k）+…+（a_k+a_k-1+a_k-2）（x^k+x^k+2）+（2a_k-1+a_k）x^k+1；
令a₀'=a₀，a₁'=a₀+a₁，a_m'=a_m-2+a_m-1+a_m（2≤m≤k），a_k+1'=2a_k-1+a_k；
故存在与x无关的常数a₀'，a₁'，a₂'，…，a_k'，a_k+1'；使得f（x）=a₀'（1+x^2k+2）+a₁'（x+x^2k+1）+a₂'（x²+x^2k）+…+a_k'（x^k+x^k+2）+a_k+1'x^k+1．
综上所述，对于任意给定的正整数n，都存在与x无关的常数a₀，a₁，a₂，…，a_n，
使得f（x）=a₀（1+x²ⁿ）+a₁（x+x^2n-1）+a₂（x²+x^2n-2）+…+a_n-1（x^n-1+xⁿ⁺¹）+a_nxⁿ．…（10分）

点评 本题考查数学归纳法，考查赋值法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．