Question

12．若函数y=lnx-$\frac{a}{2}$x²在区间（${\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，+∞）上是增函数，a的取值范围为（-∞，0]．

Answer 1

分析 先求y′=$\frac{1-a{x}^{2}}{x}$，所以根据题意便有1-ax²≥0在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上恒成立，所以讨论a的取值：显然a=0时满足条件；a≠0时，可结合二次函数的图象即抛物线来对a的取值进行判断．

解答 解：y′=$\frac{1}{x}-ax=\frac{1-a{x}^{2}}{x}$；
∵原函数在$（\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$上是增函数；
y′≥0在（$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$）上恒成立，x＞0；
∴1-ax²≥0在（$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$）上恒成立；
（1）若a=0，1≥0恒成立；
（2）若a＜0，△=4a＜0，所以满足1-ax²≥0在（$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$）上恒成立；
（3）若a＞0，抛物线1-ax²开口向下，显然不满足在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上1-ax²≥0恒成立；
∴综上得a的取值范围为（-∞，0]．
故答案为：（-∞，0]．

点评 考查函数的单调性和函数导数符号的关系，判别式△的取值和二次函数值的关系，熟练掌握二次函数的图象即抛物线．