Question

3．已知函数f（x）=（-2ax+a+1）e^x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[0，1]上单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出函数的导数，进一步对参数a进行分类讨论，最后求出函数的单调区间．
（Ⅱ）利用上步的结论，函数的单调区间和[0，1]的关系展开讨论，最后求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=（-2ax+a+1）e^x，
则：f′（x）=-2ae^x+（-2ax+a+1）e^x=（-2ax+1-a）e^x，
（1）当a=0时，f′（x）=e^x＞0，
所以：函数在x∈R上为单调递增函数．
（2）当a≠0时，
令：f′（x）=0，
解得：x=$\frac{1-a}{2a}$，
所以：①当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为：（-$∞，\frac{1-a}{2a}）$，函数的递减区间为：$（\frac{1-a}{2a}，+∞）$．
②当a＜0时，函数f（x）的递增区间为：$（\frac{1-a}{2a}，+∞）$，函数f（x）的递减区间为：$（-∞，\frac{1-a}{2a}）$．
（Ⅱ）函数f（x）在[0，1]上单调，
（1）当a＞0时，若函数为单调递增函数，
则：$\frac{1-a}{2a}≥1$，
解得：a$≤\frac{1}{3}$，
故：$0＜a≤\frac{1}{3}$．
（2）当a＞0时，若函数为单调递减函数，
则：$\frac{1-a}{2a}≤0$，
解得：a≥1．
（3）当a＜0时，若函数为单调递增函数，
则：$\frac{1-a}{2a}≤0$，
解得：a≥1，
与a＜0矛盾，故舍去．
（4）当a＜0时，若函数为单调递减函数，
则：[0，1]与$（-∞，\frac{1-a}{2a}）$没有关系，
所以综上所述：a的取值范围为：$0＜a≤\frac{1}{3}$或a≥1

点评 本题考查的知识要点：利用导数求函数的单调区间和参数的取值范围，主要考查学生分类讨论的思想和学生的运算能力．