Question

8．已知函数f（x）=2ax³-3ax²+1，g（x）=-$\frac{a}{4}$x+$\frac{3}{2}$，若任意给定的x₀∈[0，2]，总存在两个不同的x_i（i=1，2）∈[0，2]，使得f（x_i）=g（x₀）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 由题意可以把问题转化为求函数f（x）和函数g（x）的最值，并有题意转化为两个函数的值域的关系问题即可得到结论．

解答 解：f′（x）=6ax²-6ax=6ax（x-1）．
①当a=0时，显然不可能；
②当a＞0时，函数f（x）的变化情况如下表所示

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	0	-	0	+
f（x）	1	递减	极小值1-a		1+4a

又因为当a＞0时，g（x）=-$\frac{a}{4}$x+$\frac{3}{2}$在[0，2]上是减函数，
对任意x∈[0，2]，g（x）∈[-$\frac{a}{2}+\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，不合题意；
③当a＜0时，函数f（x）的变化情况如下表所示

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	0	+	0	-
f（x）	1	递增	极大值1-a	递减	1+4a

f（x）在[0，2]的最大值为1-a；
又因为当a＜0时，g（x）=-$\frac{a}{4}$x+$\frac{3}{2}$在[0，2]上是增函数，
所以对任意x∈[0，2]，g（x）∈[$\frac{3}{2}$，-$\frac{a}{2}+\frac{3}{2}$]，
由题意必有g（x）_max＜f（x）_max，
可得-$\frac{a}{2}+\frac{3}{2}$＜1-a，解得a＜-1．
综上a的取值范围为（-∞，-1）．
故选：A

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，确定函数的最大值是关键．综合性较强，有一定的难度．