Question

18．已知关于x的实系数二次方程x²+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|＜2且|β|＜2是2|a|＜4+b且|b|＜4的充要条件．

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次方程根与系数之间的关系进行证明即可．

解答 证明：（1）充分性：由韦达定理，得|b|=|α•β|=|α|•|β|＜2×2=4．
设f（x）=x²+ax+b，则f（x）的图象是开口向上的抛物线．
又|α|＜2，|β|＜2，∴f（±2）＞0．
即有4+b＞2＞a-（4+b）
∵|b|＜4，
∴4+b＞0，
即2|a|＜4+b
（2）必要性：
由2|a|＜4+b，得f（±2）＞0且f（x）的图象是开口向上的抛物线．
∴方程f（x）=0的两根α，β同在（-2，2）内或无实根．
∵α，β是方程f（x）=0的实根，
∴α，β同在（-2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的证明，注意要证明充分性和必要性两个方面．