Question

8．已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}中的元素都是正整数，且a_l＜a₂＜…＜a_n，集合A具有性质P：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥$\frac{xy}{25}$．给出下列命题：
①集合{1，2，3，4}不具有性质P；    
②$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n}≥\frac{n-1}{25}$；
③不等式i（n-i）＜25对于i=1，2，…，n-1均成立；  
④A中最多可以有10个元素．
其中正确命题的序号是②③（将所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析 ①利用性质对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥$\frac{xy}{25}$，代入即可判断；
②依题意有|a_i-a_i+1|≥$\frac{{a}_{i}{a}_{i+1}}{25}$（i=1，2，n-1），又a₁＜a₂＜…＜a_n，因此 a_i+1-a_i≥$\frac{{a}_{i}{a}_{i+1}}{25}$（i=1，2，n-1）．由此能够证明$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n}≥\frac{n-1}{25}$；
③由$\frac{1}{{a}_{1}}$＞$\frac{n-1}{25}$，a≥1可得 1＞$\frac{n-1}{25}$，因此n＜26．同理$\frac{1}{{a}_{i}}-\frac{1}{{a}_{n}}≥\frac{n-i}{25}$，由a_i≥i即可得判断；
④由③，结合不等式可推导出n≤9．

解答 解：①由于|1-2|$≥\frac{1×2}{25}$，|1-3|$≥\frac{1×3}{25}$，|1-4|$≥\frac{1×4}{25}$，
|2-3|$≥\frac{2×3}{25}$，|2-4|$≥\frac{2×4}{25}$，|3-4|$≥\frac{3×4}{25}$，
∴集合{1，2，3，4}具有性质P，故不正确；
②依题意有|a_i-a_i+1|≥$\frac{{a}_{i}{a}_{i+1}}{25}$（i=1，2，n-1），
又a₁＜a₂＜…＜a_n，因此a_i+1-a_i≥$\frac{{a}_{i}{a}_{i+1}}{25}$（i=1，2，n-1）．
所以$\frac{1}{{a}_{i}}-\frac{1}{{a}_{i+1}}≥\frac{1}{25}$（i=1，2，n-1）；
所以$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$$≥\frac{n-1}{25}$，
即$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n}≥\frac{n-1}{25}$，故正确；
③由$\frac{1}{{a}_{1}}$＞$\frac{n-1}{25}$，a≥1可得 1＞$\frac{n-1}{25}$，因此n＜26．
同理$\frac{1}{{a}_{i}}-\frac{1}{{a}_{n}}≥\frac{n-i}{25}$，可知$\frac{1}{{a}_{i}}＞\frac{n-i}{25}$，
又a_i≥i，可得$\frac{1}{i}＞\frac{n-i}{25}$，
所以不等式i（n-i）＜25对于i=1，2，…，n-1均成立，故正确； 
④由③，当n≥10时，取i=5，则i（n-i）=5（n-5）≥25，从而n＜10，
而又当n≤9时，i（n-i）≤$（\frac{i+n-i}{2}）^{2}$=$（\frac{n}{2}）^{2}$＜25，所以n≤9，故不正确；
故答案为：②③．

点评 本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，合理地进行等价转化．